一个紧自伴的积分算子

文章内容灵感来源于一个知乎上的问题。La Vida Seguirá！

，对定义积分算子

且有

(为方便起见这里的函数值域，啊这样我就不用加什么共轭了)

（一）是上的有界算子

最后一个等号成立是由fubini定理积分可交换

由此知是到自身的有界线性算子且

（二）是自伴算子

是自己的对偶空间，则伴随算子 亦为到自己的有界线性算子

对有

则

对成立，故在等距同构意义下

且与在等距同构意义下视为相同则

为自伴算子

（三）是紧算子

由（一）知

令

为上的规范正交基，那么

是上的规范正交基，有

定义算子

其中

每个的值域为有限维所以为紧算子，而

又由

可得为紧算子

（四）谱分解

由于是一个紧的自伴算子，根据谱定理存在关于特征值的特征向量组成的规范正交基

则定义

是的规范正交基，于是

于是可得

参考文献：

https://people.maths.bris.ac.uk/~mazag/fa/lecture5.pdf

https://tqft.net/web/teaching/current/Analysis3/LectureNotes/03.Compact.operators-r.pdf

http://people.math.gatech.edu/~heil/metricnote/chap8.pdf