对于代数的一个非零表示，若它的唯一子表示为和本身，则称其不可约；若它不能被写作两个非零子表示的直和，则称其不可分。显然有不可约蕴含不可分，反之不成立。
1. 令是代数的非零有限维表示，证明它有不可约子表示。但这对无限维表示不一定成立，请举例说明。
证：若不可约取本身即为它的不可约子表示。否则可约，取为其非零的真子表示，于是。后对重复上述讨论，并反复往下可得到一串非零真子表示链，且表示的维数严格递减。则又由于维数为的表示不可约，所以总能找到一个不可约的子表示。
反例可以考虑多项式上的正则表示，无限维所以无限维，取的任意子表示。但，其中的真包含关系考虑它们的degree便可知，所以是的真子表示，即它的任意子表示可约。Rmk: 事实上，的任意非零元在模作用下生成的表示都与同构。
Weyl代数：
q-Weyl代数：
2. 命题：Weyl代数的基为
证：首先证明可以张成。注意到由关系，任意单词可以重排为在的左侧的单词的组合，i.e.，任意单词可以被表示为的线性组合。
下证线性无关（基于表示论进行证明）。是一个变元，令（这里只是一个形式符号，因为根据后面的作用我们总能提出写成这样的形式，所以可以说实际上）。如下定义在上的作用，
可以验证这个作用满足所以是良定义的，且注意经作用后的像依旧落于中。现假设有非平凡线性关系式，那么即有算子
在上的作用为0。可以写为
其中。于是
由于为未定元，则
矛盾。Q.E.D
3. 命题：q-Weyl代数的基为
证：首先证明可以张成。由关系式容易有和，于是任意单词可以通过这两个关系式化作的线性组合。下证其线性无关。
构造表示为，作用为
则有
且易验证剩余几个关系式，所以这个作用是良定义的。设有非平凡线性组合，并令
为算子，其中，则
而同样有作为未定元，考察它的最高次项必须有，矛盾。Q.E.D
代数闭域上的Schur引理：令是 over an algebraically closed field 的某个有限维不可约表示，且是一个intertwining算子。那么对于某个（一个scaler算子）。
4. 令是代数闭域上的代数。其中心为与所有元素均交换的元素组成的集合。
（a）证明若是的一个不可约有限维表示，那么在上的作用为乘上一个scaler ，并且是一个同态。它被称作的中心特征。
证：由于中心中的元素与中所有元素交换，所以是一个intertwining算子，又是一个不可约有限维表示，所以由Schur引理可以立刻得出在上的作用为乘以一个scaler 。同时由于作用是同态，而，则是一个同态。Q.E.D
rmk：考虑的一个特征向量，它的存在性由是代数闭域保证，它对应的非零特征空间。由，有，则，所以为的非零子表示。（这里说的就是是的子表示）由不可约所以。（用一个具体的例子串了一下Schur定理和Schur引理的证明思想）
（b）证明若是的一个不可分有限维表示，那么在上的作用只有唯一的特征值，且它的值等于在的某个不可约子表示作用的scaler值。因此，是一个同态，它同样被称作的中心特征。
证：因为我们知道可以表示为不同特征值对应的广义特征子空间的直和，由不可分，则由的一个广义特征子空间构成，i.e.， 。这证明了在上的作用只有唯一的特征值。后续的命题对于的情况是平凡的。否则是非零有限维表示（见1），知道存在不可约子表示。于是将作用限制在子表示上，则由（a）知道它在上的作用为乘以一个scaler ，i.e.， ，不同特征值的特征空间是正交的所以。而是同态即得为同态。Q.E.D
（c）命题(b)中的是否一定是一个scaler算子？
不一定。在（b）证明中若就不是，i.e.， 考虑大于1阶的约当块。
5. 四个代数，令是一个-双模，是一个-双模，是一个-双模。证明与为-双模同构。
证：令满足。
是-双模，又是-双模，所以是-双模。
是-双模，又为-双模。
下证保持模同态。
所以.
所以.
最后只要证其为双射。
若则，所以，为单射。
，令，为满射。
Q.E.D
令是域上的向量空间，并令为一个反对称双线性映射。（等价于且）
是一个李代数如果满足雅可比恒等式
几个李代数的例子：
1. with （阿贝尔李代数）
2.结合代数 with
3.结合代数的子空间满足对于所有的
4.代数的导子空间，i.e.，线性映射满足莱布尼兹法则
6. 证明对任意结合代数，其导子集，其中满足莱布尼兹法则，关于必为一个李代数。
证：容易验证下述三条成立
1.
2.
3.雅可比恒等式
下只需验证在李括号下是封闭的，也成立，这个把李括号打开算一下就好，是成立的。Q.E.D
Rmk：对于一个结合代数来讲，上面定义的李括号的封闭性是自然成立的，但是非结合代数，对应的就是自然的复合运算。这是因为
而若则
所以两者相等意味着必有
但这并不一定成立，矛盾。
所以一个代数非结合代数，但却可以关于李括号成立李代数。而对于一个李代数来讲，我们可以取它的泛包络代数使其“延拓”为一个结合代数。我们直接用张量积的方式定义这个泛包络代数。
首先定义张量代数。给定一个向量空间，定义域上的张量代数，乘法运算。观察到的一组基可以定义一个自由代数（一个非交换多项式环）为的一个同构。
下面定义这个泛包络代数。若是一个李代数，其泛包络代数为商掉由生成的理想。这个泛包络代数是一个结合代数。
并且我们还可以知道的一件事是，李代数和泛包络代数的表示是一样的。的作用可以用中的元素生成，。
令是代数的不可约有限维且两两互不同构的表示，是。那么同构于，inclusion 是inclusions 的直和，，其中是矩阵，行向量线性无关。
7. 是的不可约有限维表示，是任意的线性无关向量。那么对任意，存在使得成立。
证：假设不然。考虑表示，映射为不是满射，是的真子表示，于是它同构于，映射对应于。取，则存在使得。由于，存在非零向量使得。那么
这与的线性无关性矛盾。