an interpretation of A-D test

The article is credited to and written by Zengxiao Ye, who introduced to me this intriguing, innovative and intuitive interpretation of A-D test.

Abel-Dirichlet判别法

(级数的A-D判别法)级数收敛，若满足下列条件之一:

(1)(Abel判别法)单调有界，收敛;

(2)(Dirichlet判别法)单调趋于0，有界

(反常积分的A-D判别法)收敛，若满足下列条件之一:

(1)(Abel判别法)g(x)在[a,+\infty)上单调有界，收敛;

(2)(Dirichlet判别法)在上单调且，在上有界。

图像上的解释

这里给出该定理的一个直观解释：

（解释总是繁琐的，不如直接观图思考）

对级数情形，首先，将级数的有些项表示为矩形面积之和，示意图如下:

注意到，面积可能有正有负，由的单调性，我们不妨另其为正项数列，于是面积的正负由决定；
且由的单调性，对任意有限项求和，可以用图中具有正面积和负面积的两部分表示。

对Abel判别法，不妨设:
正数
示意图如下:

对Dirichlet判别法，不妨设:

示意图如下:

这里似乎还不能直观地看出哪部分的面积代表这个级数，无妨，下面先介绍无穷积分的情形：

事实上，对，在中的每一子区间上积分，可得到数列，
又由中值定理得到，即从而转化为级数情形；
(当然,另一方面，、也对应上的分段常值函数、，这里还有诸多联系，不再深入了)
时，可得到无穷积分情形，示意图如下：

Abel判别法：

Dirichlet判别法：

图像可由一条以积分上限为参数的曲线(不一定连续)确定，在抵消过后代表正面积和负面积的两部分分别以“黑”、“灰”色表示，前者的分界线是的无穷积分，后者的分界线是；由下图易见收敛性（面积的变化可控制在任意小的范围内，级数情形同理）：